Стороны треугольника, углы, периметр треугольника и полупериметр — базовые величины для формул площади и отношений․
Краткие определения: стороны треугольника, углы, периметр треугольника, полупериметр
Стороны треугольника — три отрезка, соединяющие пары вершин; обычно обозначаются a, b, c․ Углы при вершинах, внутренние величины α, β, γ, сумма углов равна 0°․ Периметр треугольника — сумма длин всех сторон: P = a + b + c․ Полупериметр — половина периметра: p = P/2 = (a + b + c)/2; используется в формулах, связывающих стороны и площадь․ В терминах сторон задаются условия существования треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других․ Отношения сторон через углы задают тригонометрические соотношения; обозначения высот, медиан, бистрис кратко указывают на их исходные определения и применение в вычислениях․
Формулы для площадей и связанные величины
Площадь треугольника выражается через высоту, через синус двух сторон, через формулу Герона с полупериметром и через радиусы․
Площадь треугольника: базовые формулы (через высоту, через синус, через стороны — формула Герона, через радиусы и бистрису)
Площадь треугольника обычно обозначается S․ Через высоту h к стороне a: S = (a·h)/2․ Через две стороны и угол между ними: S = (1/2)·b·c·sin(α)․ Через стороны a, b, c и полупериметр p = (a+b+c)/2 формула Герона: S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]․ Через радиусы: S = r·p, где r — радиус вписанной окружности, и S = (abc)/(4R), где R — радиус описанной окружности․ Через длину бистрисы можно выразить площади частей и общую площадь через сумму площадей с основаниями, используя соотношения длины бистрисы и прилежащих сторон․
Тригонометрические и метрические отношения
Теоремы: теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема синусов; формулы для углов, синус, косинус, тангенс в треугольнике․
Теоремы и законы: теорема Пифагора и свойства прямоугольного треугольника; теорема косинусов (закон косинусов); теорема синусов (закон синусов)
В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу: a²+b²=c²; суммы углов и свойства прямого угла важны для вычислений․ Закон косинусов дает связь сторон и угла между сторонами: c²=a²+b²−2ab·cos(γ), и аналогично для других вершин, что позволяет находить стороны через углы и наоборот․ Закон синусов устанавливает пропорции: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ)=2R, связывая стороны с радиусом описанной окружности․ Эти три базовые теоремы служат основой для тригонометрических и метрических вычислений в треугольнике;
Центры, радиусы и соответствующие формулы
Инцентр, описанный центр, ортцентр и центр тяжести связаны с радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности через координаты и формулы․
Инцентр, центр описанной окружности, ортцентр, центр тяжести (точка пересечения медиан): координатные и аналитические формулы, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, радиус Эйлеровой окружности
Инцентр (центр вписанной окружности, инцентр) определяется как пересечение бистрис и его координаты в вершинах A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) равны (ax1+bx2+cx3)/(a+b+c) по радиусам; радиус вписанной окружности r = S / p (S — площадь треугольника, p — полупериметр)․ Центр описанной окружности (описанный центр) координатно, пересечение серединных перпендикуляров; радиус описанной окружности R = abc/(4S)․ Ортцентр — пересечение высот, его координаты через вершины и углы; центр тяжести (точка пересечения медиан) — среднее арифметическое координат вершин ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)․ Радиус Эйлеровой окружности rho = sqrt(R(R-2r))․
Координатная геометрия, вспомогательные теоремы и соотношения
Координаты вершин, уравнение стороны, расстояние между точками, площадь через детерминант, формулы Стюарта, Чева и Менелай․
Координаты вершин, уравнение стороны, расстояние между точками, площадь через координаты вершин (детерминант); формулы Стюарта, теоремы Чевы и Менелая, соотношения медиана-бистриса-высота
В координатной геометрии вершины A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)․ Уравнение стороны AB: (y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)․ Расстояние между точками: sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)․ Площадь через детерминант S=1/2|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|․ Формула Стюарта для медианы: man formula relates sides; теорема Чевы в барицентрических отношениях: (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1․ Теорема Менелая для коллинеарности сечение через треугольник․ Соотношения медиана-бистриса-высота дают выражения через стороны и углы, обеспечивая вычисления длины и угловых отношений․
